Stichprobe vs. Grundgesamtheit

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# Stichprobe vs. Grundgesamtheit

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## Die Stichprobe

.question[**Schätzen Sie:** wie viele rote Kugeln sind in dieser Urne]

<img src="./figs/sampling_bowl_2.jpg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" />
.small[Quelle: https://moderndive.com/7-sampling.html]

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## Die Stichprobe

Gibt es eine Möglichkeit auf die Anzahl der Kugeln zu kommen **ohne** alle Kugeln zu zählen?

.instructions[Ja! Nehmen Sie eine Stichprobe aus der Urne (hier 50 Kugeln).]

.small[Quelle: https://moderndive.com/7-sampling.html]

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## Die Stichprobe

Lassen Sie uns hier die Urne virtuell nachbauen:
- **Design:** 38% rote, 62% weiße Kugeln

```r
urne <- as.tibble(rep( c("rot", "weiß"), times = c(760,1240)))
urne <- urne %>% mutate(id = rownames(urne))
colnames(urne) <- c("farbe", "id")
```
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Nun können Sie eine Stichprobe von 50 Bällen entnehmen:

```r
set.seed(1234)
probe1 <- urne %>%
* sample_n(size = 50)
```

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## Wie viele sind rot?

```r
probe1 %>%
  summarize(anteil_rot = mean(farbe=="rot")) %>%
  pull
```

```
[1] 0.32
```
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.question[Ist dies der tatsächliche Anteil an roten Kugeln in der Urne?]

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## Stichprobenvarianz

Wie sieht es aus, wenn Sie mehrere Stichproben aus der Urne entnehmen, sagen wir **50**?

Dies können wir mit Hilfe des `infer`-Pakets und der Funktion `rep_sample_n` simulieren:

```r
library(infer)

N <- 50
proben50 <- urne %>%
  rep_sample_n(size=50, reps = N)
```

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie nun eine rote Kugel?

```r
urne_anteil50 <- proben50 %>% 
  group_by(replicate) %>% 
  summarize(anteil_rot = mean(farbe == "rot"))

mean(urne_anteil50$anteil_rot)
```

```
[1] 0.386
```

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## Plotten der Stichprobenverteilung

```r
urne_anteil50 %>%
  ggplot(aes(x = anteil_rot)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.02, farbe = "rot")
```

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## Stichprobenvarianz

- Manchmal ist der Anteil an roten Kugeln kleiner als 30%
- Manchmal ist der Anteil an roten Kugeln größer als 45%

**Jedoch:** Der häufigste Anteil liegt jedoch zwischen 35% und 45%.

.alert[Diese Unterschiede in der Anzahl an roten Kugeln erhalten wir auf Grund der _Stichprobenvarianz_]

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## Stichprobenvarianz

Was passiert, wenn Sie die Anzahl an Stichproben erhöhen?

.instructions[Ziehen Sie 1000, 5000 und 10000 mal aus der Urne]

Wie groß ist hier der Anteil an roten Kugeln?

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## Unterschiedliche Stichprobengrößen

.instructions[Sie können auch die Stichprobengröße variieren.]

- Nutzen Sie einen Cacher mit 25, 50 und 100 Kugeln
- Anzahl der Entnahmen konstant bei 1000

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## Stichprobe

- Je größer die Stichprobe, desto geringer die Varianz zwischen den einzelnen Stichproben
- Verteilung ist zentrierter um den gleichen Wert
- Alle Verteilungen zentriert um etwa 40%

Sie können die die Variation in ihren Daten mittels der Standardabweichung quantifizieren:

<table class="table table-condensed table-responsive lightable-paper" style='margin-left: auto; margin-right: auto; font-family: "Arial Narrow", arial, helvetica, sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto;'>
<caption>Stichprobengröße</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> Anzahl der Kugeln </th>
   <th style="text-align:right;"> Standardabweichung </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 25 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0958206 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0698487 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 100 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0466991 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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## Stichprobe

- Stichproben als Grundlage für Schätzungen hilfreich
- Stichproben werden häufig genutzt da Grundgesamtheit nicht verfügbar oder zu umfangreich

Sie sollten bzgl. Stichproben zwei Grundkonzepte verinnerlichen:

- Welchen Effekt hat die Stichprobenvariation auf ihre Schätzer
- Welchen Effekt hat die Stichprobengröße auf ihre Stichprobenvariation